Jak řešit kvadratické rovnice

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici: x² + 5x + 4 = 0

1. krok

Pro řešení kvadratických rovnic máme stanovený jednoduchý vztah, takzvaný výpočet přes diskriminant, který se snadno použije. Číslo, které stojí před x² je koeficient a, číslo, které stojí před x, je koeficient b a samotné číslo před znaménkem rovnosti je koeficient c.
Obecný zápis kvadratické rovnice je: ax² + bx + c = 0
V našem případě je a = 1, b = 5 a c = 4.
Diskriminantem nazýváme výraz: D = b² - 4ac
Vyjde-li diskriminant kladný, rovnice má hned 2 kořeny. Je-li diskriminant nulový, rovnice má přesně jeden kořen. Je-li však hodnota diskriminantu záporná, rovnice žádné řešení (v oboru reálných čísel) nemá.

2. krok

Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice:

Dosadíme koeficienty ze zadané rovnice:

3. krok

Snadno dopočítáme hodnotu kořenů.

Jak řešit jednoduché rovnice s jednou absolutní hodnotou

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici:

1. krok

Zamyslíme se, je-li hodnota funkce možná. Tím chci říct, že je třeba překontrolovat, zda je hodnota mezi minus jedničkou a plus jedničkou. Nejde řešit rovnice sinx = 2 nebo sinx = -1,5 . Lépe řečeno: řešit jdou, ale na první pohled je vidět, že řešením je prázdná množina.

2. krok

Načrtneme si jednotkovou kružnici. Funkce sinus se zobrazuje na svislé ose y. Protože je to kružnice jednotková, jsou hodnoty, kde kružnice protíná osu 1 a -1 a uprostřed, kde se osy protínají je nula. Na ose y si zobrazíme hodnotu ze zadání (jednu polovinu). Tímto bodem vedeme kolmici na osu y a zvýrazníme průsečíky kolmice s kružnicí. Ty nás zajímají (jedná se o obrazy kořenů rovnice).

3. krok

Určíme hodnoty kořenů v obloukové míře (na stupně se vykašleme, ty patří do matematiky základní školy). K hodnotě kořenů připočteme periodu pro funkci sinus. Ta je stejně jako pro funkci kosinus 2π . My ji ještě do zápisu vynásobíme celým číslem k.

Jak řešit jednoduché goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice

jednoduché goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice s sin x

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici:

1. krok

Zamyslíme se, je-li hodnota funkce možná. Tím chci říct, že je třeba překontrolovat, zda je hodnota mezi minus jedničkou a plus jedničkou. Nejde řešit rovnice sinx = 2 nebo sinx = -1,5 . Lépe řečeno: řešit jdou, ale na první pohled je vidět, že řešením je prázdná množina.

2. krok

Načrtneme si jednotkovou kružnici. Funkce sinus se zobrazuje na svislé ose y. Protože je to kružnice jednotková, jsou hodnoty, kde kružnice protíná osu 1 a -1 a uprostřed, kde se osy protínají je nula. Na ose y si zobrazíme hodnotu ze zadání (jednu polovinu). Tímto bodem vedeme kolmici na osu y a zvýrazníme průsečíky kolmice s kružnicí. Ty nás zajímají (jedná se o obrazy kořenů rovnice).

3. krok

Určíme hodnoty kořenů v obloukové míře (na stupně se vykašleme, ty patří do matematiky základní školy). K hodnotě kořenů připočteme periodu pro funkci sinus. Ta je stejně jako pro funkci kosinus 2π . My ji ještě do zápisu vynásobíme celým číslem k.

Jak řešit jednoduché goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice s cos x.

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici:

1. krok

I zde se zamyslíme (stejně jako u sinu), je-li hodnota funkce možná. Pro sinus i kosinus musí ležet mezi minus jedničkou a plus jedničkou. Nejde řešit rovnice cosx = 1,2 nebo cosx = π². Lépe napsáno: řešit jdou, ale na první pohled je vidět, že žádný kořen neexistuje.

2. krok

Načrtneme si jednotkovou kružnici. Funkce kosinus se zobrazuje na vodorovné ose x. Protože je to kružnice jednotková, jsou hodnoty, kde kružnice protíná osu 1 a 1 a uprostřed, kde se osy protínají je nula. Na ose x si zobrazíme hodnotu ze zadání (odmocninu ze dvou dělenou dvěma = přibližně 0,7). Tímto bodem vedeme kolmici k vodorovné ose x a zvýrazníme průsečíky kolmice s kružnicí. Ty nás zajímají (jedná se o obrazy kořenů rovnice).

3. krok

Určíme hodnoty kořenů v obloukové míře. K hodnotě kořenů připočteme periodu pro funkci kosinus. Ta je stejně jako pro funkci sinus 2π. To znamená, že přičteme 2kπ.

Jak řešit jednoduché goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice s cotg x

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici:

1. krok

Pro funkci kotangens není žádná reálná hodnota nemožná, takováto rovnice má smysl, ať stojí vpravo od rovnítka cokoli (samozřejmě číslo z R), vše je zde dovoleno.

2. krok

Načrtneme si jednotkovou kružnici. Funkce kotangens se zobrazuje na tečné ose kružnice seshora, rovnoběžné s osou x. Protože je to kružnice jednotková, je její poloměr jedna, délka poloměru doprava od osy y odměří hodnotu kotangens 1, doleva minus 1. Tam, kde tečnou přímku pro kotangens protíná osa y, je hodnota kotangens nula. My řešíme rovnici pro hodnotu minus odmocnina ze tří, to je přibližně minus 1,7. Tímto bodem vedeme přímku procházející počátkem a zvýrazníme její průsečíky (stačí jeden průsečík) s kružnicí. Ty nás zajímají (jedná se o obrazy kořenů rovnice).

3. krok

Určíme hodnoty kořenů v obloukové míře. K hodnotě kořenů připočteme periodu pro funkci kotangens. Ta je stejně jako pro funkci tangens π (pozor - neplést se sinem a kosinem, tam je to 2π). To znamená, že přičteme kπ .

Jak řešit jednoduché goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice s tg x

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici:

1. krok

Pro funkci tangens neexistuje žádná nepřípustná hodnota, takováto rovnice má smysl, ať stojí vpravo od rovnítka cokoli (samozřejmě číslo z R), vše je zde dovoleno.

2. krok

Načrtneme si jednotkovou kružnici. Funkce tangens se zobrazuje na tečné ose kružnice zprava, rovnoběžné s osou y. Protože je to kružnice jednotková, je její poloměr jedna, délka poloměru nahoru od osy x odměří hodnotu tangens 1, dolů minus 1. Tam, kde tečnou přímku pro tangens protíná osa x, je bod nula. My máme hodnotu odmocnina ze tří, to je přibližně 1,7. Tímto bodem vedeme přímku procházející počátkem a zvýrazníme její průsečíky (stačí jeden průsečík) s kružnicí. Ty nás zajímají (jedná se o obrazy kořenů rovnice).

3. krok

Určíme hodnoty kořenů v obloukové míře. K hodnotě kořenů připočteme periodu pro funkci tangens. Ta je stejně jako pro funkci kotangens π (pozor - neplést se sinem a kosinem, tam je to 2π). To znamená, že přičteme kπ .

Jak určit diferenci aritmetické posloupnosti

Zadání

Urči diferenci aritmetické posloupnosti, jejíž n-tý člen je dán vzorcem:

1. krok

Vyjádříme vztah pro následující obecný člen (člen v pořadí n + 1): a_n+1. To provedeme tak, že do obecného vyjádření n-tého členu dosadíme místo n závorku (n + 1):

2. krok

Diference aritmetické posloupnosti vyjadřuje rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy (prvním a druhým, desátým a jedenáctým, stoprvním a stodruhým atd.). Odečteme-li dva po sobě jdoucí obecné členy (člen a_{n+1 a člen} a_n ), tak jsme diferenci odhalili:

3. krok

Zapíšeme výsledek:

Jak vyřešit jednoduchou soustavu rovnic s členy aritmetické posloupnosti

Zadání

Urči první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí:
a₃ + a₉ = 40
a₄ + a₆ = 34

1. krok

Využijeme vztah pro n-tý člen aritmetické posloupnosti a_n = a₁+(n-1)d a každý člen posloupnosti v rovnicích vyjádříme pomocí a1 a d.

2. krok

Takto vyjádřené členy zapíšeme do soustavy:

3. krok

Soustavu upravíme:

4. krok

Odečtením rovnic získáme jednoduchou rovnici pro d a diferenci snadno dopočítáme.

5. krok

Dosazením za d do jakékoli rovnice ze 3. kroku dopočítáme a₁.

6. krok

Zapíšeme výsledky:

Jak vyřešit jednoduchou rovnici s členy geometrické posloupnosti

Zadání

Urči první člen a kvocient geometrické posloupnosti, pro kterou platí:
a₁ + a₃ + a₄ = 74
a₃ + a₅ + a₆ = 666

1. krok

Využijeme vztah pro n-tý člen geometrické posloupnosti a_n=a₁×q^{n-1 a každý člen posloupnosti v rovnicích vyjádříme pomocí} a₁ a q.

2. krok

Takto vyjádřené členy zapíšeme do soustavy:

3. krok

V první rovnici vytkneme a₁ a v druhé a₁q²:

4. krok

V případě geometrické posloupnosti rovnice vždy dělíme (závorky obsahují shodný výraz a dělením se vykrátí). Dělením získáme následující rovnost - podíl levých stran je roven podílu pravých stran.

5. krok

Vyřešíme jednoduchou rovnici pro q.

6. krok

Pro každou z možných hodnot kvocientu dopočítáme hodnotu prvního členu posloupnosti:

7. krok

Zapíšeme výsledky:

Jak vydělit dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru

Zadání

Vyděl komplexní čísla: z₁ = 1 - 4i a z₂ = 3 - 2i

1. krok

Zadaná komplexní čísla umístíme do jmenovatele a čitatele zlomku a provádíme metodu usměrnění. Usměrnění zlomku je násobením šikovně zvolenou "jedničkou". Zadaný zlomek násobíme zlomkem, jehož hodnota je jedna (to zaručí, že nijak neovlivníme hodnotu zadaného výrazu) a jeho jmenovatel umožňuje využití vztahu (a-b)(a+b) = a² - b².

Zopakujme si. Zlomek, kterým násobíme, má hodnotu jedna (shoduje se čitatel i jmenovatel) a sestavujeme jej podle toho, co je pod zlomkovou čarou zadaného zlomku tak, aby násobení dalo (a-b)(a+b) = a² - b².

2. krok

Vynásobíme čitatele i jmenovatele.

3. krok

Uplatníme pravidlo i² = -1 a do zlomku dosadíme.

4. krok

Získali jsme zlomek, u kterého se už imaginární jednotka pod zlomkovou čarou nenachází. Ještě jej rozdělíme na reálnou a imaginární složku a máme konečný výsledek ve tvaru komplexního čísla z = a + bi .

Jak usměrnit (upravit) zlomek s odmocninou ve jmenovateli

Zadání

Uprav zlomek:

1. krok

Usměrnění zlomku je násobením šikovně zvolenou "jedničkou". Zadaný zlomek násobíme zlomkem, jehož hodnota je jedna (to zaručí, že nijak neovlivníme hodnotu zadaného výrazu) a jeho jmenovatel umožňuje využití vztahu (a-b)(a+b) = a² - b².

Zopakujme si. Zlomek, kterým násobíme, má hodnotu jedna (shoduje se čitatel i jmenovatel) a sestavujeme jej podle toho, co je pod zlomkovou čarou zadaného zlomku tak, aby násobení dalo (a-b)(a+b) = a² - b².

2. krok

Vynásobíme čitatele i jmenovatele.

3. krok

Získali jsme zlomek, u kterého se už odmocniny pod zlomkovou čarou nenachází. Ještě zkrátíme a máme konečný výsledek.

Jak usměrnit (upravit) zlomek s komplexními čísly

Zadání

Uprav zlomek:

1. krok

Usměrnění zlomku je násobením šikovně zvolenou „jedničkou“. Zadaný zlomek násobíme zlomkem, jehož hodnota je jedna (to zaručí, že nijak neovlivníme hodnotu zadaného výrazu) a jeho jmenovatel umožňuje využití vztahu (a-b)(a+b) = a² - b².

Zopakujme si. Zlomek, kterým násobíme, má hodnotu jedna (shoduje se čitatel i jmenovatel) a sestavujeme jej podle toho, co je pod zlomkovou čarou zadaného zlomku tak, aby násobení dalo (a-b)(a+b) = a² - b².

2. krok

Vynásobíme čitatele i jmenovatele.

3. krok

Uplatníme pravidlo i² = -1 a do zlomku dosadíme.

4. krok

Získali jsme zlomek, u kterého se už imaginární jednotka pod zlomkovou čarou nenachází. Ještě zkrátíme a máme konečný výsledek ve tvaru komplexního čísla z = a + bi v našem případě je a = 0.

Jak určit obecnou rovnici přímky určené dvěma body

Zadání

Urči obecnou rovnici přímky určené body

1. krok

Načrtneme si obrázek, abychom měli jasnou představu, o co se vlastně snažíme. Z bodu B do bodu C míří směrový vektor . K němu je kolmý normálový vektor . A ten potřebujeme k sestavení obecné rovnice přímky.

2. krok

Vyjádříme směrový vektor:

3. krok

Určíme normálový vektor. To se provede tak, že u směrového přehodíme obě souřadnice a u jedné změníme znaménko. Změnu znaménka volíme tak, aby byla první souřadnice kladná (nejlépe obě):

4. krok

Do obecné rovnice přímky p: ax+by+c = 0 dosadíme za a a b první dvě souřadnice normálového vektoru: p: x-2y+c=0

5. krok

Potřebujeme dopočítat hodnotu c. K tomu použijeme jeden ze dvou zadaných bodů (tzn. bod ležící na přímce). Je dobré vybrat ten bod, jehož souřadnice se budou snáze dosazovat (například ten, který má více nul).

6. krok

Napíšeme výslednou obecnou rovnici přímky

Jak určit středovou rovnici kružnice procházející třemi body

Zadání

Urči středovou rovnici kružnice, která prochází body:

1. krok

Středová rovnice kružnice má tvar (x-m)² + (y-n)² = r² . Tuto rovnici musí splňovat všechny zadané body. Dosadíme postupně (třikrát) do rovnice za x a y souřadnice zadaných bodů (první za x a druhou za y) a tak získáme soustavu tří kvadratických rovnic.

2. krok

Závorky na levé straně každé rovnice umocníme podle vztahu (a±b)² = a² ± 2ab + b².

3. krok

Odečteme od sebe dvakrát dvě rovnice (v našem řešení odčítáme první a druhou a první a třetí):

Při tomto odčítání nám ze soustavy zmizely všechny kvadratické členy (m², n² a r²)

4. krok

Získanou soustavu dvou lineárních rovnic s neznámými n a m upravíme do jednoduššího tvaru.

5. krok

Soustavu vyřešíme:

6. krok

Vybereme si jednu z rovnic v 1. kroku a dosazením dopočítáme velikost poloměru:

7. krok

Zapíšeme výsledek (středovou rovnici kružnice):

Jak převést obecnou rovnici kružnice na rovnici středovou

Zadání

Rovnici kružnice k: x² + y² + 4x - 8y - 5 = 0 převeď na středový tvar, urči souřadnice jejího středu a velikost poloměru.

1. krok

Změníme uspořádání členů, členy s x seřadíme za sebou a stejně tak spojíme členy s y.

2. krok

Naším cílem je získat tvar (x-m)² + (y-n)² = r². Když umocníme první závorku, získáme trojčlen x² - 2mn + m². Z tohoto trojčlenu my v naší úloze známe jen první dva členy. Třetí si musíme domyslet:

Stačí si pamatovat, že číslo před x vydělíme dvěma a umocníme na druhou a to, co vyjde, přičteme.

3. krok

Protože však nesmíme hodnotu zadaného výrazu nijak měnit, tak to, co jsme připočetli, zase pěkně ihned odečteme. Výpočet pak vypadá takto:

4. krok

Závorky s trojčleny převedeme na druhou mocninu součtu nebo rozdílu a čísla mezi závorkami a před rovnítkem přesuneme na pravou stranu rovnice.

5. krok

Sečtením čísel na pravé straně dokončíme převod na středový tvar a můžeme snadno určit souřadnice středu (tady pozor na znaménka, jsou opačná než v závorkách) a velikost poloměru.

převést obecnou rovnici elipsy na rovnici středovou.

Zadání

Rovnici elipsy

převeď na středový tvar, urči souřadnice jejího středu a velikost hlavní a vedlejší poloosy.

1. krok

Změníme uspořádání členů, členy s x seřadíme za sebou a stejně tak spojíme členy s y.

Z prvních dvou členů vytkneme číslo 9 a z dalších dvou číslo 16.

2. krok

Naším cílem je získat tvar

Když umocníme (x - m)² , získáme trojčlen x² - 2mx + m². Z tohoto trojčlenu my v naší úloze známe jen první dva členy. Třetí si musíme domyslet: x² + 2x + 1

Stačí si pamatovat, že číslo před x vydělíme dvěma a umocníme na druhou a to, co vyjde, přičteme.

3. krok

Protože však nesmíme hodnotu zadaného výrazu nijak měnit, tak to, co jsme připočetli, zase pěkně ihned odečteme. Pozor. My přidáváme nějakou hodnotu do závorky, která je násobená nenulovým číslem. To, co přidáváme k hodnotě celého výrazu, je součin čísla před závorkou a čísla, které jsme do závorky přidali. Tento součin musíme odečtením kompenzovat. Výpočet pak vypadá takto:

4. krok

Závorky s trojčleny převedeme na druhou mocninu součtu nebo rozdílu a čísla mezi závorkami a před rovnítkem přesuneme na pravou stranu rovnice.

5. krok

Čísla na pravé straně sečteme a odečteme a získanou hodnotou celou rovnici podělíme.

6. krok

Získali jsme středový tvar rovnice elipsy. Větší z čísel pod zlomkovou čarou na levé straně je druhá mocnina délky hlavní poloosy a menší je druhá mocnina délky vedlejší poloosy.

Jak převést obecnou rovnici paraboly na rovnici vrcholovou

Zadání

Rovnici paraboly P: x² + 12x - 6y + 48 = 0 převeď na vrcholový tvar a urči souřadnice jejího vrcholu.

1. krok

Naším cílem je získat tvar (x-v₁)² = 2p(y-v₁). Když umocníme (x-v₁)², získáme trojčlen x² - 2v₁x + v₁². Z tohoto trojčlenu my v naší úloze známe jen první dva členy. Třetí si musíme domyslet:

Stačí si pamatovat, že číslo před x vydělíme dvěma a umocníme na druhou a to, co vyjde, přičteme.

2. krok

Protože však nesmíme hodnotu zadaného výrazu nijak měnit, tak to, co jsme připočetli, zase pěkně ihned odečtením kompenzujeme. Výpočet pak vypadá takto:

3. krok

Závorku s trojčlenem převedeme na druhou mocninu součtu nebo rozdílu a vše za závorkou přemístíme na pravou stranu rovnice.

4. krok

Na pravé straně vytkneme číslo umístěné před y.

5. krok

Získali jsme vrcholový tvar rovnice paraboly. Z ní snadno určíme souřadnice vrcholu.

Jak převést obecnou rovnici hyperboly na rovnici středovou

Zadání

Rovnici hyperboly H: 9x² - 16y² - 54x - 128y - 319 = 0 převeď na středový tvar, urči souřadnice jejího středu a velikost hlavní a vedlejší poloosy.

1. krok

Změníme uspořádání členů, členy s x seřadíme za sebou a stejně tak spojíme členy s y.

Z prvních dvou členů vytkneme číslo 9 a z dalších dvou číslo -16.

2. krok

Naším cílem je získat tvar:

Když umocníme (x-m)², získáme trojčlen x² - 2mx + m². Z tohoto trojčlenu my v naší úloze známe jen první dva členy. Třetí si musíme domyslet:

3. krok

Protože však nesmíme hodnotu zadaného výrazu nijak měnit, tak to, co jsme připočetli, zase pěkně ihned neutralizujeme. Pozor. My přidáváme nějakou hodnotu do závorky, která je násobená nenulovým číslem. To, co přidáváme k hodnotě celého výrazu, je součin čísla před závorkou (i se znaménkem) a čísla, které jsme do závorky přidali. Tento součin musíme kompenzovat odečtením nebo přičtením (u hyperboly na rozdíl od kružnice nebo elipsy musíme dávat velký pozor na znaménka). Výpočet pak vypadá takto:

4. krok

Závorky s trojčleny převedeme na druhou mocninu součtu nebo rozdílu a čísla mezi závorkami a před rovnítkem přemístíme na pravou stranu rovnice.

5. krok

Čísla na pravé straně sečteme a odečteme a získanou hodnotou celou rovnici podělíme.

6. krok

Získali jsme středový tvar rovnice hyperboly. Číslo pod zlomkovou čarou před znaménkem minus je druhá mocnina délky hlavní poloosy a číslo pod zlomkovou čarou za znaménkem minus je druhá mocnina délky vedlejší poloosy.

Jak částečně odmocňovat

Zadání

Proveď částečné odmocnění

1. krok

Číslo pod odmocninou přepíšeme na součin dvou činitelů (dvou čísel). Jedno je největší možná druhá mocnina:

2. krok

Odmocninu součinu zapíšeme jako součin dvou odmocnin:

3. krok

První odmocninu (z druhé mocniny) odmocníme a výsledek píšeme jako součin celého čísla a „zbytkové” odmocniny:

Jak řešit rovnici se substitucí, která vede k rovnici kvadratické

Zadání

Řeš v množině reálných čísel rovnici:

1. krok

Zavedeme okamžitě a bez váhání substituci:

a rovnice získá tento, mnohem příjemnější tvar:

2. krok

Rovnici vynásobíme tak, abychom se zbavili zlomků:

3. krok

Získali jsme krásnou kvadratickou rovnici kterou vyřešíme.

4. krok

Vrátíme se zpět k substituci, místo y vrátíme původní funkci 2^x a rovnici dořešíme pro x:.

5. krok

Provedeme zkoušku a zapíšeme výsledek: